2025학년도 2학기 공통수학2 2차 지필고사 (세정고등학교) — 해설지

출처: 첨부 PDF를 바탕으로 문제를 텍스트화함. (선택형 19문항, 서술형 6문항)

선택형 (1~19)

1. 두 점 \(A(8)\), \(B(3)\) 사이의 거리는?
   ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

2. 두 점 \(A(-4,2)\), \(B(-2,5)\) 사이의 거리는?
   ① \(\sqrt{11}\) ② \(\sqrt{13}\) ③ \(\sqrt{15}\) ④ \(\sqrt{17}\) ⑤ \(\sqrt{19}\)

[3~4] 두 점 \(A(-3)\), \(B(7)\)에 대하여, 다음 물음에 답하시오.

3. 선분 \(AB\)를 \(3:2\)로 내분하는 점은?
   ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

4. 선분 \(AB\)의 중점은?
   ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

5. 세 점 \(A(a,-3)\), \(B(2,5)\), \(C(1,b)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(ABC\)의 무게중심 \(G\)의 좌표가 \((1,2)\)일 때, \(a+b\)는?
   ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

6. 점 \((-1,3)\)을 지나고 기울기가 \(2\)인 직선의 방정식은?
   ① \(y=-2x-3\) ② \(y=-2x-1\) ③ \(y=2x+1\) ④ \(y=2x+3\) ⑤ \(y=2x+5\)

7. 직선 \(x+2y-5=0\)은 직선 \(y=mx+n\)과 서로 평행하고, 직선 \(y=m'x+n'\)와는 서로 수직이라 할 때, \(m+m'\)은?
   ① \(\frac12\) ② \(\frac32\) ③ \(\frac52\) ④ \(\frac72\) ⑤ \(\frac92\)

8. \(y\)절편이 \(5\)이고 직선 \(2x-6y+3=0\)에 수직인 직선의 방정식은?
   ① \(y=-3x+1\) ② \(y=-3x+3\) ③ \(y=-3x+5\) ④ \(y=3x+3\) ⑤ \(y=3x+5\)

[9~10] 점 \((-2,3)\)에 대하여, 다음 물음에 답하시오.

9. 직선 \(-x+2y-2=0\) 사이의 거리는?
   ① \(\frac{2\sqrt3}{3}\) ② \(\frac{4\sqrt3}{3}\) ③ \(\frac{4\sqrt5}{5}\) ④ \(\frac{6\sqrt5}{5}\) ⑤ \(\frac{8\sqrt5}{5}\)

10. 직선 \(x=3\) 사이의 거리는?
    ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

11. 원의 방정식 \((x-1)^2+(y-2)^2=9\)의 중심과 반지름은?
    ① 중심 \((1,2)\), 반지름 \(9\)
    ② 중심 \((1,2)\), 반지름 \(3\)
    ③ 중심 \((1,2)\), 반지름 \(\sqrt3\)
    ④ 중심 \((-1,-2)\), 반지름 \(9\)
    ⑤ 중심 \((-1,-2)\), 반지름 \(3\)

12. 중심이 \((-3,1)\)이고 반지름의 길이가 \(\sqrt2\)인 원의 방정식은?
    ① \((x-3)^2+(y-1)^2=2\)
    ② \((x-3)^2+(y+1)^2=2\)
    ③ \((x+3)^2+(y-1)^2=2\)
    ④ \((x+3)^2+(y-1)^2=\sqrt2\)
    ⑤ \((x-3)^2+(y+1)^2=\sqrt2\)

13. 점 \((-3,5)\)를 \(x\)축 방향으로 \(2\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(-4\)만큼 평행이동한 점의 좌표는?
    ① \((-5,9)\) ② \((-5,5)\) ③ \((-3,1)\) ④ \((-3,3)\) ⑤ \((-1,1)\)

[14~15] 점 \((-4,3)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

14. \(x\)축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는?
    ① \((-4,-3)\) ② \((-4,3)\) ③ \((4,-3)\) ④ \((4,3)\) ⑤ \((3,-4)\)

15. \(y\)축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는?
    ① \((-4,-3)\) ② \((-4,3)\) ③ \((4,-3)\) ④ \((4,3)\) ⑤ \((3,-4)\)

[16~17] 원 \((x-3)^2+(y+2)^2=4\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

16. 원점에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은?
    ① \((x-3)^2+(y-2)^2=4\)
    ② \((x-3)^2+(y+2)^2=4\)
    ③ \((x+3)^2+(y-2)^2=4\)
    ④ \((x+3)^2+(y+2)^2=4\)
    ⑤ \((x+2)^2+(y-3)^2=4\)

17. 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은?
    ① \((x-3)^2+(y-2)^2=4\)
    ② \((x-3)^2+(y+2)^2=4\)
    ③ \((x+3)^2+(y-2)^2=4\)
    ④ \((x+3)^2+(y+2)^2=4\)
    ⑤ \((x+2)^2+(y-3)^2=4\)

18. 점 \((-1,1)\)이 직선 \(3x-5y+k=0\)을 \(y\)축에 대하여 대칭이동한 직선 위의 점일 때, 상수 \(k\)를 구하면?
    ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

19. 방정식 \(2x-3y+3=0\)이 나타내는 도형을 \(y\)축의 방향으로 \(2\)만큼 평행이동한 후 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은?
    ① \(2x-3y-9=0\)
    ② \(2x-3y+9=0\)
    ③ \(3x-2y-9=0\)
    ④ \(3x-2y+9=0\)
    ⑤ \(3x+2y+9=0\)

서술형 (1~6)

1. 두 점 \(A(-2,3)\), \(B(4,-7)\)에 대하여 선분 \(AB\)를 \(2:3\)으로 내분하는 점을 구하시오. (풀이 포함)

2. 점 \((2,-3)\)을 지나고 직선 \(3x-y+7=0\)에 평행한 직선의 방정식을 구하시오. (풀이 포함)

3. 점 \((-1,3)\)을 지나고 직선 \(y=2x+7\)에 수직인 직선의 방정식을 구하시오. (풀이 포함)

4. 직선 \(3x-4y+6=0\)에 평행하고 원점에서 거리가 \(2\)인 직선의 방정식을 구하시오. (풀이 포함)

5. 방정식 \(x^2+y^2-2y-3=0\)이 나타내는 원의 중심과 반지름의 길이를 각각 구하시오. (풀이 포함)

6. 원 \(x^2+y^2-6x+4y-3=0\)을 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(b\)만큼 평행이동하였더니 원 \(x^2+y^2=16\)이 되었다. \(a,b\)의 값을 구하시오. (풀이 포함)

문항별 템플릿: 정답 → 개념(1줄) → 풀이(단계) → 오답 포인트(1개)

선택형 (1~19)

1번

• 정답: ⑤ (5)
  
• 개념: 수직선 위 두 점의 거리 \(=|x_1-x_2|\).
  
• 풀이: \(|8-3|=5\).
  
• 오답 포인트: 부호를 빼먹고 \(8+3\)으로 계산.

2번

• 정답: ② (\(\sqrt{13}\))
  
• 개념: 두 점 사이 거리 \(=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
  
• 풀이: \(\sqrt{(-2+4)^2+(5-2)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\).
  
• 오답 포인트: 괄호를 빠뜨려 부호 실수.

3번

• 정답: ③ (3)
  
• 개념: 내분점(수직선) \(P=\dfrac{nA+mB}{m+n}\) (비 \(m:n=AP:PB\)).
  
• 풀이: \(A=-3,B=7,\; m=3,n=2\)
  \[P=\frac{2(-3)+3(7)}{5}=\frac{-6+21}{5}=3.\]
  
• 오답 포인트: \(m,n\)을 바꿔 넣는 실수.

4번

• 정답: ② (2)
  
• 개념: 중점(수직선) \(=\dfrac{A+B}{2}\).
  
• 풀이: \(\dfrac{-3+7}{2}=2\).
  
• 오답 포인트: \(-3-7\)로 착각.

5번

• 정답: ④ (4)
  
• 개념: 무게중심 \(G=\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\).
  
• 풀이:
  \[\frac{a+2+1}{3}=1\Rightarrow a=0,\qquad \frac{-3+5+b}{3}=2\Rightarrow b=4.\]
  따라서 \(a+b=4\).
  
• 오답 포인트: 분모를 2로 착각(중점과 혼동).

6번

• 정답: ⑤ (\(y=2x+5\))
  
• 개념: 점-기울기식 \(y-y_1=m(x-x_1)\).
  
• 풀이: \(y-3=2(x+1)\Rightarrow y=2x+5\).
  
• 오답 포인트: \(x+1\)을 \(x-1\)로 쓰는 실수.

7번

• 정답: ② (\(\frac32\))
  
• 개념: 평행 \(\Rightarrow\) 기울기 같음, 수직 \(\Rightarrow m_1m_2=-1\).
  
• 풀이: \(x+2y-5=0\Rightarrow y=-\frac12x+\frac52\)이므로 \(m=-\frac12\). 수직 기울기 \(m'=2\).
  \[m+m'=-\frac12+2=\frac32.\]
  
• 오답 포인트: 수직 조건을 \(m_1+m_2=-1\)로 착각.

8번

• 정답: ③ (\(y=-3x+5\))
  
• 개념: \(Ax+By+C=0\)의 기울기 \(=-\dfrac AB\).
  
• 풀이: \(2x-6y+3=0\Rightarrow y=\frac13x+\frac12\)이므로 수직 기울기 \(-3\). \(y\)절편 5이므로 \(y=-3x+5\).
  
• 오답 포인트: \(y\)절편 조건을 대입으로 확인하지 않음.

9번

• 정답: ④ \(\left(\frac{6\sqrt5}{5}\right)\)
  
• 개념: 점과 직선의 거리 \(=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).
  
• 풀이: \(-x+2y-2=0\)에서 \(A=-1,B=2,C=-2\), 점 \((-2,3)\) 대입:
  \[d=\frac{|(-1)(-2)+2\cdot3-2|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt5}=\frac{6\sqrt5}{5}.\]
  
• 오답 포인트: 분모를 \(\sqrt{A+B}\)로 잘못 넣음.

10번

• 정답: ⑤ (5)
  
• 개념: 점과 수직선 \(x=a\) 사이 거리 \(=|x_0-a|\).
  
• 풀이: \(|-2-3|=5\).
  
• 오답 포인트: 절댓값 처리를 빠뜨림.

11번

• 정답: ② (중심 \((1,2)\), 반지름 \(3\))
  
• 개념: \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\).
  
• 풀이: \(r^2=9\Rightarrow r=3\).
  
• 오답 포인트: 반지름을 9로 착각.

12번

• 정답: ③ \(\big((x+3)^2+(y-1)^2=2\big)\)
  
• 개념: 반지름은 \(r^2\)로 들어간다.
  
• 풀이: 중심 \((-3,1)\), \(r=\sqrt2\)이므로 \((x+3)^2+(y-1)^2=2\).
  
• 오답 포인트: 우변에 \(\sqrt2\)를 그대로 씀.

13번

• 정답: ⑤ \((-1,1)\)
  
• 개념: 평행이동 \((x,y)\mapsto(x+\Delta x,\;y+\Delta y)\).
  
• 풀이: \((-3+2,\;5-4)=(-1,1)\).
  
• 오답 포인트: 이동량의 부호 실수.

14번

• 정답: ① \((-4,-3)\)
  
• 개념: \(x\)축 대칭: \((x,y)\mapsto(x,-y)\).
  
• 풀이: \((-4,3)\mapsto(-4,-3)\).
  
• 오답 포인트: \(x\)도 바꾸는 실수.

15번

• 정답: ④ \((4,3)\)
  
• 개념: \(y\)축 대칭: \((x,y)\mapsto(-x,y)\).
  
• 풀이: \((-4,3)\mapsto(4,3)\).
  
• 오답 포인트: \(y\)도 바꾸는 실수.

16번

• 정답: ③ \(\big((x+3)^2+(y-2)^2=4\big)\)
  
• 개념: 원점 대칭: 중심 \((h,k)\mapsto(-h,-k)\).
  
• 풀이: 중심 \((3,-2)\mapsto(-3,2)\), 반지름 동일 \(\Rightarrow (x+3)^2+(y-2)^2=4\).
  
• 오답 포인트: 괄호 안 부호를 그대로 두는 실수.

17번

• 정답: ⑤ \(\big((x+2)^2+(y-3)^2=4\big)\)
  
• 개념: \(y=x\) 대칭: \((x,y)\mapsto(y,x)\).
  
• 풀이: 중심 \((3,-2)\mapsto(-2,3)\)이므로 \((x+2)^2+(y-3)^2=4\).
  
• 오답 포인트: 반지름을 바꿔 쓰는 실수(대칭은 거리 보존).

18번

• 정답: ② (2)
  
• 개념: 대칭된 직선 위 점 \(\Leftrightarrow\) 그 점의 대칭점이 원래 직선 위.
  
• 풀이: \((-1,1)\)의 \(y\)축 대칭점은 \((1,1)\).
  \[3(1)-5(1)+k=0\Rightarrow k=2.\]
  
• 오답 포인트: 점 대칭을 빼먹고 직선만 변형하려 함.

19번

• 정답: ③ \(\big(3x-2y-9=0\big)\)
  
• 개념: 위로 \(t\) 평행이동: \(y\to y-t\), \(y=x\) 대칭: \(x,y\) 교환.
  
• 풀이:
  1. \(y\)축 방향 2만큼 평행이동: \(2x-3(y-2)+3=0\Rightarrow 2x-3y+9=0\).
     
  2. \(y=x\) 대칭: \(2y-3x+9=0\Rightarrow 3x-2y-9=0\).
     
• 오답 포인트: 평행이동에서 대입 방향을 반대로 함.

서술형 (1~6)

1번

• 정답: \(\left(\frac{2}{5},-1\right)\)
  
• 개념: 내분점 \(P=\dfrac{nA+mB}{m+n}\) (비 \(m:n=AP:PB\)).
  
• 풀이: \(A(-2,3),\,B(4,-7),\, m=2,n=3\)
  \[P=\left(\frac{3(-2)+2(4)}{5},\;\frac{3(3)+2(-7)}{5}\right)=\left(\frac25,-1\right).\]
  
• 오답 포인트: \(m,n\) 위치를 바꿔 대입.

2번

• 정답: \(3x-y-9=0\) (또는 \(y=3x-9\))
  
• 개념: 평행한 직선은 기울기(계수비)가 같다.
  
• 풀이: \(3x-y+c=0\)에 \((2,-3)\) 대입: \(6-(-3)+c=0\Rightarrow c=-9\).
  
• 오답 포인트: 상수항을 그대로 7로 유지.

3번

• 정답: \(x+2y-5=0\) (또는 \(y=-\frac12x+\frac52\))
  
• 개념: 수직이면 기울기 곱이 \(-1\).
  
• 풀이: 주어진 기울기 2 \(\Rightarrow\) 수직 기울기 \(-\frac12\).
  \[y-3=-\frac12(x+1)\Rightarrow x+2y-5=0.\]
  
• 오답 포인트: 역수 대신 부호만 바꿈.

4번

• 정답: \(3x-4y+10=0\) 또는 \(3x-4y-10=0\)
  
• 개념: 원점-직선 거리 \(=\dfrac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).
  
• 풀이: \(3x-4y+c=0\), 거리 2: \(\dfrac{|c|}{5}=2\Rightarrow |c|=10\).
  
• 오답 포인트: 분모 5를 빼먹음.

5번

• 정답: 중심 \((0,1)\), 반지름 \(2\)
  
• 개념: 완전제곱으로 표준형 정리.
  
• 풀이: \(x^2+y^2-2y-3=0\Rightarrow x^2+(y-1)^2=4\).
  
• 오답 포인트: \(y^2-2y\)를 \(\, (y-2)^2\)로 착각.

6번

• 정답: \(a=-3,\;b=2\)
  
• 개념: 평행이동은 중심을 같은 벡터만큼 이동.
  
• 풀이:
  \[x^2+y^2-6x+4y-3=0\Rightarrow (x-3)^2+(y+2)^2=16\] 중심 \((3,-2)\), 이동 후 중심 \((0,0)\)이므로 \((3+a,-2+b)=(0,0)\Rightarrow a=-3,\,b=2\).
  
• 오답 포인트: 이동 방향을 반대로 적용.